Уравнение заданного эллипса как уравнение линии второго порядка имеет вид: 5x²+9у²-30x+18y+9 = 0.
Чтобы найти ответы к заданию: "Найти полуоси фокусы, эксцентриситет эллипса", надо привести уравнение к каноническому виду.
Выделяем полные квадраты.
5(x²-6х +9)+9(у²+2у+1)-45 = 0.
5(х-3)²+9(y+1)²-45 = 0.
Перенесём свободный член направо и разделим обе части уравнение на него.
Получаем каноническое уравнение эллипса.
((x-3)²/9) + ((y+1)²/5) = 1 или
((x-3)²/3²) + ((y+1)²/(√5)²) = 1.
По этому уравнению находим значения полуосей:
а = 3,
в = √5.
Центр эллипса находится в точке О(хо; уо) = О(3; -1).
Вершины эллипса имеют координаты:
А1 = ((а + хо); уо) = (3 + 3 = 6, -1) = (6; -1).
А2 = ((-а + хо); уо) = (-3 + 3 = 0, -1) = (0; -1).
В1= (хо; (в + уо)) = (3; (√5 +(-1)) =(3; (√5 - 1).
В2 = (хо; (-в + уо)) = (3; (-√5 - 1)) = (3; (-√5 - 1).
Половина межфокусного расстояния с = √(а² - в²) = √(9 - 5) = √4 = 2.
Координаты фокусов:
F1 = (с +хо); уо) = (2 + 3 = 5; -1) = (5; -1),
F2 = (-c + xo; yo) = (-2 + 3 = 1; -1) = (1; -1).
