Определить глубину колодца, если за его рытье уплачено 238 тыс. рублей, причем за каждый...

Question

Определить глубину колодца, если за его рытье уплачено 238 тыс. рублей, причем за каждый метр глубины платили на 2 тыс. рублей больше, чем за предыдущий, а за работу на последнем метре заплатили 30 тыс. рублей.

Надо решить через арифметическую прогрессию

Answer 1

Ар пр
a(n) =30000
d=2000
S(n) = 238000
a(1) -?
n - ?

Решение:
Составим систему уравнений с двумя неизвестными n и a(1) (a(1)для удобства заменим на просто а), получаем:
{a(n) = a(1) +(n-1)d
{S(n) = (2a(1) + (n-1)d) * n / 2

{30000 = a + (n-1)2000
{238000 = (2a+(n-1)2000)*n/2

{30000 = a+2000n - 2000
{238000 = (a+(n-1)1000)*n

{32000 = a+2000n
{238000 = an+1000n²-1000n

{a = 32000-2000n
{238000 = (32000-2000n)n+1000n²-1000n

решаем нижнее уравнение системы:
238000 = 32000n-2000n²+1000n²-1000n
238000 = 31000n - 1000 n² | : 1000
238 = 31n-n²
n²-31n+238 = 0
D=31²-4*238 = 961 - 952 = 9 = 3²
n(1) = (31+3) / 2 = 17
n(2) = (31-3)/2 = 14
возвращаемся к системе и находим а, получаем:

а(2) = 32000 - 2000*14 = 32000-28000 = 4000
а(1) = 32000 - 2000 *17= 32000 - 34000 = -2000 <0 не подходит под ОДЗ ( сумма оплаты должна быть положительная)<br>Получаем а = а(1) прогрессии = 4000

n = 14  => 14 -тый метр был последним
Ответ: глубина колодца 14 м

Answer 2

Сумма членов прогрессии с первого по n-ный равна 238000. d прогрессии равно 2000. Последний член прогрессии равен 30000.

S = 238000
d = 2000
a = ? (первый член)

S = (a + (n-1)d + a)/2 * n, отсюда 238000 = (2a + (n-1)*2000) / 2 * n = n*(a + (n-1)*1000).
Выразим последний член: a + (n-1)*2000 = 30000.

Имеем систему уравнений:
238000 = n*(a + (n-1)*1000)
a + (n-1)*2000 = 30000

Решим ее:
a = 30000 - (n-1)*2000
238000 = n*(30000 - (n-1)*2000 + (n-1)*1000)
238000 = 30000n - (n-1)*n*2000 + (n-1)*n*1000
238 = 30n - (n-1)*n*2 + (n-1)*n
238 = 30n - 2n*n + 2n + n*n -n

Имеем квадратное уравнение:
238 = 31n - n*n
n*n - 31n + 238 = 0
D = 9

Решим его:
n1,2 = (31+-3)/2
n1 = 17
n2 = 14

Найдем, сколько заплатили за первый метр (найдем первый член прогрессии):
a = 30000 - 13*2000 = 4000
a = 30000 - 16*2000 < 0

Ответ: за первый метр заплатили 4000 рублей, глубина колодца 14 метров.