Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми: а1=(4, -5, 2, 6),...

Question 1

Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми: а1=(4, -5, 2, 6), а2=(2, -2,1,3), а3=(6, -3, 3, 9), а4=(4, -1, 5, 6).

Question 2

Составим матрицу, строками которой будут векторы данной системы:
$A=\begin{bmatrix} 4 & -5 & 2 & 6\\ 2 & -2 & 1 & 3\\ 6 & -3 & 3 & 9\\ 4 &-1 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
И покажем, что ранг этой матрицы равен количеству векторов исходной системы:
Умножим третью строку на 1/3, получим:
$\begin{bmatrix} 2 & -2 & 1 & 3\\ 4& -5 & 2 &6 \\ 4&-1 &5 &6 \end{bmatrix}~\sim ~\begin{bmatrix} 2 & -2 & 1 & 3\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0& 3 & 3 &0 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 2& -2& 1 &3 \\ 0&-1 &0 &0 \\ 0& 0 &3 & 0 \end{bmatrix}$

Таким образом, $r(A)=3\ne 4$ , следовательно, системы векторов линейно зависимы.

Ответ: нет, не являются.

Question 3

Спасибо!

LecToRJkeeeee_zn · Answer 1 · 2018-05-27T13:42:34+0000

Составим матрицу, строками которой будут векторы данной системы:
$A=\begin{bmatrix} 4 & -5 & 2 & 6\\ 2 & -2 & 1 & 3\\ 6 & -3 & 3 & 9\\ 4 &-1 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
И покажем, что ранг этой матрицы равен количеству векторов исходной системы:
Умножим третью строку на 1/3, получим:
$\begin{bmatrix} 2 & -2 & 1 & 3\\ 4& -5 & 2 &6 \\ 4&-1 &5 &6 \end{bmatrix}~\sim ~\begin{bmatrix} 2 & -2 & 1 & 3\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0& 3 & 3 &0 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 2& -2& 1 &3 \\ 0&-1 &0 &0 \\ 0& 0 &3 & 0 \end{bmatrix}$

Таким образом, $r(A)=3\ne 4$ , следовательно, системы векторов линейно зависимы.

Ответ: нет, не являются.