Определитель матрицы не меняется, если к любой строке прибавить другую, умноженную на число. То же самое со столбцами.
Если строка/столбец нулевая кроме одного элемента, то определитель равен произведению этого элемента на алгебраическое дополнение.
Например, если нужно сделать первый столбец нулевым, можно к первому столбцу прибавить третий. Получится:
![\left[\begin{array}{ccc}1&1&5\\-4&87&2\\4&5&1\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%261%265%5C%5C-4%2687%262%5C%5C4%265%261%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+ "\left[\begin{array}{ccc}1&1&5\\-4&87&2\\4&5&1\end{array}\right]")
Теперь к третьей строке прибавляем вторую:
![\left[\begin{array}{ccc}1&1&5\\-4&87&2\\0&92&3\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%261%265%5C%5C-4%2687%262%5C%5C0%2692%263%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+ "\left[\begin{array}{ccc}1&1&5\\-4&87&2\\0&92&3\end{array}\right]")
Теперь ко второй строке прибавляем первую, умноженную на 4:
![\left[\begin{array}{ccc}1&1&5\\0&91&22\\0&92&3\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%261%265%5C%5C0%2691%2622%5C%5C0%2692%263%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+ "\left[\begin{array}{ccc}1&1&5\\0&91&22\\0&92&3\end{array}\right]")
Смысл в том, что определитель теперь посчитать проще. Он равен единице, умноженной на алгебраическое дополнение.
, где А - алгебраическое дополнение, i и j - номер строки и столбца соответственно, М - минор (исходная матрица с вычеркнутой строкой и столбцом, где находится элемент).
![det=1* (-1)^{1+1} \left[\begin{array}{ccc}91&22\\92&3\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=det%3D1%2A+%28-1%29%5E%7B1%2B1%7D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D91%2622%5C%5C92%263%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+ "det=1* (-1)^{1+1} \left[\begin{array}{ccc}91&22\\92&3\end{array}\right]")
=91*3-92*22=-1751
Для нулевой строки все то же самое. Лучше выбрать там, где есть единица (первая или третья). Пусть первая. Второй столбец умножаем на 4, прибавляем к первому, обнуляется элемент 11 (первая строка, первый столбец). Второй столбец умножаем на -5, прибавляем к третьему, обнуляется элемент 13 (первая строка, третий столбец).
В общем, если нужна строка, преобразуйте столбцы, и наоборот.