1. Ася (собственное имя её было Анна, но Гагин называл её Асей, и уж вы позвольте мне её так называть ) --Ася отправилась в дом и скоро вернулась вместе с хозяйкой. - Осложено вводным предложением и однородными сказуемыми.
2. Я отправился домой через потемневшие поля, медленно вдыхая пахучий воздух, и пришёл в свою комнатку весь разнеженный сладким томлением беспредметных и бесконечных ожиданий. - Осложнено обособленным обстоятельством образа действия, выраженным деепричастным оборотом, однородными определениями, выраженными прилагательными
3. Но, задав себе этот вопрос, я, кажется, немедленно заснул, как дитя в колыбели. - Осложнено обособленным обстоятельством, выраж деепр. обор.; вводным словом, обособл. обстоят, выраж. сравнительным оборотом. .
4. Итак, лет 20 тому назад я проживал в немецком небольшом городке З, на левом берегу Рейна.
(Осложнено вводным словом и уточняющим обстоятельством места).