Палочка разломана на 15 частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить...

Если из трёх палочек с длинами x >= y >= z нельзя сложить треугольник, то x >= y + z.

Обозначим длины частей $a_1\geqslant a_2\geqslant a_3\geqslant\dots\geqslant a_{15}$ . Запишем 17 неравенств:

$2a_1\geqslant 2a_1\\a_1\geqslant a_2\\a_1\geqslant a_2+a_3\\a_2\geqslant a_3+a_4\\a_3\geqslant a_4+a_5\\\cdots\\a_{13}\geqslant a_{14}+a_{15}\\ a_{14}\geqslant a_{15}\\a_{15}\geqslant 0$
(первое неравенство всегда верно, второе и предпоследнее верны, так как a выписаны по убыванию, последнее — так как a15 — это длина, все остальные — по наблюдению, написанному выше)

Сложим все 17 неравенств.
$3a_1+(a_1+a_2+\dots+a_{15})\geqslant 2(a_1+a_2+\dots+a_{15})\\ 3a_1\geqslant a_1+a_2+\dots+a_{15}\\ a_1\geqslant \dfrac13(a_1+a_2+\dots a_{15})$

Так как сумма всех a равна длине исходной палочки, то последнее неравенство утверждает то, что требовалось доказать.

Палочка разломана ** 15 частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить...