Lim(x→∞) (√(x²+2x+2)-√(x²-2x+2))
Это неопределённость "∞ - ∞".
Умножим и разделим одновременно это выражение на (√(x²+2x+2)+√(x²-2x+2)):
lim(x→∞) (x²+2x+2-x²+2x-2)/(√(√x²+2x+2)+√(x²-2x+2))=
=lim(x→∞) (4x/(√(x²+2x+2)+√(x²-2x+2)).
Разделим одновременно числитель и знаменатель на х:
lim(x→∞) (4/(√(x²+2x+2)+√(x²-2x+2))/x=
=lim(x→∞) (4/(√(x²/x²+2x/x²+2/x²)+√(x²/x²-2x/x²+2/x²))=
=lim(x→∞) (4/(√1+2/x+2/x²)+√(1-2/x+2/x²))=
=4/(√(1+0+0)+√(1-0+0))=4/(√1+√1)=4/(1+1)=4/2=2.