ЕГЭ(17 номер, профиль). В июле планируется взять кредит в банке ** сумму 9 млн рублей **...

Question

ЕГЭ(17 номер, профиль).
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок(целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга за июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если НАИМЕНЬШИЙ годовой платеж составит 1,25 млн рублей?

Не могу понять, как найти наименьший платеж, если не указано количество лет.

Answer 1

Пусть перед начислением процентов долг D, ежегодно нужно снижать долг на R. 
После начисления процентов долг станет 1,25D, после выплаты должен стать D - R, откуда размер выплаты 1,25D - (D - R) = R + 0.25D — функция, возрастающая относительно D. Поскольку каждый год D уменьшается, то минимальный платёж — последний.

Возвращаемся немного назад:
июль: долг 0 млн
февраль-июнь: долг 1,25 млн, уплачено 1,25 млн
январь: долг 1 млн, проценты по долгу 25% от 1 млн = 0,25 млн
июль прошлого года: долг 1 млн 

Итак, за год долг уменьшается на R = 1 млн, значит, кредит взят на 9 лет, D уменьшается на 1 млн за год. Суммируем все выплаты, исходя из формулы выше:
(1 + 0,25 * 9) + (1 + 0,25 * 8) + (1 + 0,25 * 7) + ... + (1 + 0,25 * 1) = 9 + 0,25 * (1 + 2 + 3 + ... + 9) = 9 + 0,25 * 9 * 10 / 2 = 9 + 11,25 = 20,25 млн

Общая стоимость кредита 20,25 млн рублей