Номер 1. Равносильны ли следующие уравнения. Ответ обоснуйте.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Уравнения называются равносильными, если множество корней одного уравнения совпадает с множеством корней другого уравнения
a)
$15x^2-15x-3=2x+1 \\15x^2-17x-4=0 \\D=289+240=529=23^2 \\x_1= \frac{17+23}{30} = \frac{4}{3} \\x_2= \frac{17-23}{30} =- \frac{6}{30} - \frac{1}{5} =-0,2$
подставим эти корни в 1 уравнение
$x= \frac{4}{3} \\\sqrt{15* \frac{16}{9} -15* \frac{4}{3} -3}=\sqrt{2* \frac{4}{3} +1} \\ \sqrt{\frac{11}{3} }=\sqrt{ \frac{11}{3}} \\x=-0,2 \\\sqrt{15*0,04+15*0,2-3}=\sqrt{-0,4+1} \\\sqrt{0,6}=\sqrt{0,6}$
корни совпали => уравнения равносильны
Ответ: равносильны
б)
$15x^2-19x-3=1-2x \\15x^2-17x-4=0$
это уравнение уже решено в примере a
$x_1= \frac{4}{3} ;\ x_2=-0,2$
подставим корни этого уравнения в 1 уравнение
$\\x= \frac{4}{3} \\\sqrt{15* \frac{16}{9}-19* \frac{4}{3} -3}=\sqrt{1-2* \frac{4}{3} }$
выражение под корнем в правой части меньше 0=> 4/3 не является корнем этого уравнения => данные уравнения не равносильны
Ответ: не равносильны
в)
$16x^2-19x-3=x^2-2x+1 \\15x^2-17x-4=0$
корни этого уравнения мы уже знаем
$x= -0,2 \\x-1=-0,2-1=-1,2$
правая часть уравнения отрицательна, а корень квадратный не может равняться отрицательному числу => -0,2 - не корень => уравнения не равносильны
Ответ: не равносильны
г) решим 1 уравнение:
возведем обе части в квадрат:
$(4-5x)(1-3x)=8 \\4-12x-5x+15x^2=8 \\15x^2-17x-4=0$
это уравнение уже решено: x1=4/3; x2=-0,2
подставим эти корни в исходное уравнение:
$\sqrt{(4-5* \frac{4}{3})( 1-3* \frac{4}{3} )}=\sqrt{8} \\\sqrt{8}=\sqrt{8}$
$x=-0,2 \\\sqrt{(4+1)*(1+0,6)}=\sqrt{8} \\\sqrt{5*1,6}=\sqrt{8} \\\sqrt{8}=\sqrt{8}$
1 уравнение имеет 2 кореня
подставим их во 2 уравнение
$x= \frac{4}{3} \\ 4-5* \frac{4}{3} \ \textless \ 0\ =\ \textgreater \ x \neq \frac{4}{3}$
один из корней не подходит => уравнения не равносильны
Ответ: не равносильны

AnonimusPro_zn (149k баллов) 27 Май, 18