1)
Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB} = (-5;
5;
8).
IBD| (длина) = √(25+25+64) = √114 ≈ 10,67707825.
2)
Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} = (3;
1;
4).
|BC| = √(9+1+16) = √26 ≈ 5,099019514.
cos(BD∧BC) = |-5*3+5*1+8*4|/(√114*√26) =
22/54,44263 ≈
0,404095.
3) S(DBC) = (1/2)|DD|*|BC|*sin(BD∧BC).
Синус угла равен √(1-cos²α) = √(1-0,404095²) = 0,914717.
S(DBC) = (1/2)*(√114*√26)*0,914717 ≈ 24,8998.
Эту же площадь можно получить как векторное произведение.
Произведение векторов a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
S(DBC) = (1/2)
[BC x BD]= (1/2)√((-12)²+44²+20²) =(1/2)√
2480 ≈ 24,8998.
4) Объём V.
Объем пирамиды равен: (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3 .
AB*AC = (-6;
-34;
13)
V = (1/6)*|-1*(-6)+2*(-34)+2*13| = (1/6)*36
=
6 куб ед.
5) Уравнение АС.
x+3 y-1 z-3
------ = ------ = -----
4+3 -1-1 1-3
x+3 y-1 z-3
------ = ------ = -----
7 -2 -2 Это каноническое уравнение.
Уравнение прямой в векторном виде: r = r0 + a · t ,
где r0 - радиус-вектор известной фиксированной точки, лежащей на прямой;
в нашем случае в качестве r0 мы можем взять как радиус-вектор (-3; 1; 3) точки A, так и радиус-вектор (4; -1; 1) точки С;
a - направляющий вектор прямой,
a = (xС - xA; yС - yA; zС - zA) = (4 - (-3); -1 - (1); 1 - (3)) = (7; -2; -2);
t - параметр на прямой, для каждого значения параметра t мы будем получать новую точку на нашей прямой.
Параметрическое уравнение прямой:
x = -3 + (7) · t ,
y = 1 + (-2) · t ,
z = 3 + (-2) · t .
6) Уравнение плоскости ABD (то есть по трём точкам).
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2,
z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, находим из выражения:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1)
– (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) +
(z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, получаем: