В стране Аэродромии 30 городов, некоторые города соединены двусторонними авиарейсами. При...

Question

В стране Аэродромии 30 городов, некоторые города соединены двусторонними авиарейсами. При этом, между любыми двумя городами существует только один разумный авиамаршрут (т. е. маршрут, на котором не надо пользоваться одним и тем же авиарейсом в разных направлениях).
Для каждого из городов вычислили авиарасстояние до столицы. Оно рассчитывается как минимальное количество рейсов, необходимое, чтобы долететь из этого города до столицы.
Для каждых двух городов А и В, соединённых авиарейсом, стоимость билета из города А в город В (также как и обратного) в фартингах равна наибольшему из авиарасстояний от А и В до столицы. В частности, билет до столицы из любого соединённого с ней прямым рейсом города стоит 1 фартинг; все остальные рейсы, вылетающие из этих городов, стоят 2 фартинга и так далее.
Коля много путешествовал по Аэродромии (не только на самолётах) и в конце года оказалось, что он ровно по разу воспользовался каждым из авиарейсов (то есть, для каждых двух городов А и В, соединённых прямым авиарейсом, он слетал либо из А в В, либо из В в А, причём только в одну их сторон). Какое наибольшее количество фартингов он мог потратить на авиаперелёты?

Answer 1

Докажем по индукции, что если городов n, то авиарейсов n - 1.
База индукции: если n = 1, то авиарейсов нет. Если n = 2, то есть только один авиарейс из первого города во второй.
Переход: предположим, это верно для всех количеств городов, меньших n. Отменим один авиарейс. Так как из каждого города в каждый был только один разумный авиамаршрут, то все города разобьются на две группы из l и k городов, в каждой группе из каждого города в каждый есть ровно один маршрут, в город из другой группы попасть нельзя. По предположению в первой группе l - 1 рейс, во второй k - 1 рейс, тогда с учётом отменённого рейса получаем (l - 1) + (k - 1) + 1 = (l + k) - 1 = n - 1 рейсов.

Занумеруем города.
Упорядочим все рейсы по стоимости: a1 <= a2 <= a3 <= ... <= a29.<br>Соседние a отличаются в стоимости не больше, чем на 1, тогда максимальная сумма будет в случае 1 <= 2 <= 3 <= ... <= 29, это соответствует ситуации, когда рейсы есть только между городами с номерами, отличающимися на 1, тогда города расположены "в линию".<br>
Ответ: 1 + 2 + 3 + ... + 29 = 29 * 30 / 2 = 290 фартингов.