1) Находим частные производные:
dz/dx=2*x+2*y, dz/dy=2*x
Вычисляем значение частных производных в точке А:
dz/dx(0;0) = 0, dz/dy(0;0)=0.
Градиент grad z=dz/dx(0;0)*i+dz/dy(0;0)*j, где i и j - орты (единичные векторы) координатных осей OX и OY. Так как dz/dx(0;0)=dz/dy(0;0)=0, то и grad z (0;0)=0.
Производная по направлению dz/dl=dz/dx(0;0)*cos(α)+dz/dy(0;0)*cos(β), где α и β - углы, которые образует направление l с координатными осями OX и OY соответственно. Но так как dz/dx(0;0)=dz/dy(0;0)=0, то и dz/dl=0.
2) Так как правая часть уравнения состоит из двух слагаемых, то и решение уравнение будем искать в виде суммы двух функций y1(x)+y2(x), где y1(x) - решение данного уравнения с правой частью x*cos(2*x), а y2(x) - решение этого уравнения с правой частью (e^(-2*x))*((x^2)-3*x).
1. Находим вид функции y1(x). С этой целью соответствующую правую часть уравнения запишем в виде e^(m*x)*[P1(x)*cos(n*x)+P2(x)*sin(n*x)], где m=0, P1(x)=x, P2(x)=0 и n=2.
Записываем характеристическое уравнение:
k²+4=0. Оно имеет решения k1=2*i и k2=-2*i (здесь i=√-1). Так как числа m+-i*n (в нашем случае 0+-2*i, или +-2*i) являются корнями характеристического уравнения, то y1(x)=x*(e^(m*x))*[R1(x)*cos(n*x)+R2(x)*sin(n*x)], или y1(x)=x*[R1(x)*cos(2*x)+R2(x)*sin(2*x)]
2. Находим вид функции y2(x). С этой целью запишем соответствующую правую часть уравнения в виде P(x)*e^(m*x), где P(x)=x²-3, m=-2. Тогда y2(x)=(x^k)*Q(x)*e^(m*x). Так как число m в данном случае не является корнем характеристического уравнения, то число k, равное кратности корня характеристического уравнения, в данном случае равно 0. Значит, y2(x)=Q(x)*e^(-2*x). А тогда y1(x)+y2(x)=x*[R1(x)*cos(2*x)+R2(x)*sin(2*x)]+Q(x)*e^(-2*x).
Ответ: x*[R1(x)*cos(2*x)+R2(x)*sin(2*x)]+Q(x)*e^(-2*x).