Найти площадь фигуры ограниченную линиями у=8sqrt х, у=х^2

0 голосов
46 просмотров

Найти площадь фигуры ограниченную линиями у=8sqrt х, у=х^2


Математика (29 баллов) | 46 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Находим x координаты точек пересечения:
\left \{ {{y=8\sqrt{x}} \atop {y=x^2}} \right. 
\\8\sqrt{x}=x^2
\\64x=x^4,\ x \in [0;+\infty)
\\x^4-64x=0
\\x(x^3-64)=0
\\x_1=0
\\x^3=64
\\x_2=4
теперь вычисляем площадь с помощью определенного интеграла:
\int\limits^4_0 {(8\sqrt{x}-x^2)} \, dx =( \frac{16x^{ \frac{3}{2} }}{ 3 } - \frac{x^3}{3}) \int\limits^4_0= \frac{16*\sqrt{4^3}}{3} - \frac{4^3}{3} -0= \frac{16*8}{3} - \frac{4^3}{3} =\\= \frac{128-64}{3} = \frac{64}{3} =21 \frac{1}{3}
Ответ: 21 \frac{1}{3} ед²

(149k баллов)