Решите данное неравенство

Question 1

Question 2

Делаем замену:
$y=7^x,\ y \in (0;+\infty)$
тогда:
$y^2-7y+3|y-5| \geq 6$
раскрываем модуль:
$1)\ y^2-7y+3y-15 \geq 6,\ y \geq 5 \\y^2-4y-21 \geq 0 \\D=16+84=100=10^2 \\y_1= \frac{4+10}{2} =7 \\y_2= \frac{4-10}{2} =-3 \\(y-7)(y+3) \geq 0$
решаем методом интервалов(см. приложение 1)
$y \in (-\infty;-3]\cup [7;+\infty)$
пересекаем с $(0;+\infty)$
$x \in ((-\infty;-3]\cup [7;+\infty))\cap (0;+\infty)=[7;+\infty)$
$2)y^2-7y-3(y-5) \geq 6,\ y \leq 5;\ y \in (-\infty;5] \\y \in (0;+\infty)\cap (-\infty;5]=(0;5] \\y^2-7y-3y+15 \geq 6 \\y^2-10y+9 \geq 0 \\D=100-36=64=8^2 \\y_1= \frac{10+8}{2} =9 \\y_2= \frac{10-8}{2}=1 \\(y-9)(y-1) \geq 0$
решаем методом интервалов(см. приложение 2)
$y \in (-\infty;1]\cup [9;+\infty)$
пересекаем с $(0;5]$
$y \in ((-\infty;1]\cup [9;+\infty))\cap (0;5]=(0;1]$
объединяем получившееся множества:
$y \in (0;1] \cup [7;+\infty)$
делаем обратную замену:
$\left[\begin{array}{ccc}0\ \textless \ 7^x \leq 1 \\7^x \geq 7\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc} \left \{ {{7^x\ \textgreater \ 0} \atop {7^x \leq 1 }} \right. \\x \geq 1\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}\left \{ {{x \in R} \atop {x \leq 0 }} \right. \\x \in [1;+\infty)\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x \in (-\infty;0]\\x \in [1;+\infty)\end{array}\right. \\x \in (-\infty;0] \cup [1;+\infty)$
Ответ: $x \in (-\infty;0] \cup [1;+\infty)$

AnonimusPro_zn · Answer 1 · 2018-05-27T16:48:06+0000

Делаем замену:
$y=7^x,\ y \in (0;+\infty)$
тогда:
$y^2-7y+3|y-5| \geq 6$
раскрываем модуль:
$1)\ y^2-7y+3y-15 \geq 6,\ y \geq 5 \\y^2-4y-21 \geq 0 \\D=16+84=100=10^2 \\y_1= \frac{4+10}{2} =7 \\y_2= \frac{4-10}{2} =-3 \\(y-7)(y+3) \geq 0$
решаем методом интервалов(см. приложение 1)
$y \in (-\infty;-3]\cup [7;+\infty)$
пересекаем с $(0;+\infty)$
$x \in ((-\infty;-3]\cup [7;+\infty))\cap (0;+\infty)=[7;+\infty)$
$2)y^2-7y-3(y-5) \geq 6,\ y \leq 5;\ y \in (-\infty;5] \\y \in (0;+\infty)\cap (-\infty;5]=(0;5] \\y^2-7y-3y+15 \geq 6 \\y^2-10y+9 \geq 0 \\D=100-36=64=8^2 \\y_1= \frac{10+8}{2} =9 \\y_2= \frac{10-8}{2}=1 \\(y-9)(y-1) \geq 0$
решаем методом интервалов(см. приложение 2)
$y \in (-\infty;1]\cup [9;+\infty)$
пересекаем с $(0;5]$
$y \in ((-\infty;1]\cup [9;+\infty))\cap (0;5]=(0;1]$
объединяем получившееся множества:
$y \in (0;1] \cup [7;+\infty)$
делаем обратную замену:
$\left[\begin{array}{ccc}0\ \textless \ 7^x \leq 1 \\7^x \geq 7\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc} \left \{ {{7^x\ \textgreater \ 0} \atop {7^x \leq 1 }} \right. \\x \geq 1\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}\left \{ {{x \in R} \atop {x \leq 0 }} \right. \\x \in [1;+\infty)\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x \in (-\infty;0]\\x \in [1;+\infty)\end{array}\right. \\x \in (-\infty;0] \cup [1;+\infty)$
Ответ: $x \in (-\infty;0] \cup [1;+\infty)$