Алгебра. Логарифмические ур-ия.

1.
$lg(x+ \sqrt{3} )+lg(x- \sqrt{3} )=0 \\ \\ lg((x+ \sqrt{3} )(x- \sqrt{3} ))=0 \\ \\ lg(x^2-3 )=lg1 \\ \\ x^2-3=1 \\ x^2=4 \\ x=б2$

Проверка:
$x=-2 \\ lg(-2+ \sqrt{3} )+lg(-2- \sqrt{3} )=0$
Выражение под логарифмом меньше нуля ⇒ x = -2 --- посторонний корень.

$x=2 \\ lg(2+ \sqrt{3} )+lg(2- \sqrt{3} )=0 \\ lg(4-3 )=0 \\ lg1=0 \\ 0=0$
Равенство верно. x = 2 --- корень уравнения.

Ответ: 2

2.
$log_{0,5}(4x-1) - log_{0,5}(7x-3)=1 \\ \\ log_{0,5} \frac{4x-1}{7x-3} =log_{0,5}0,5 \\ \\ \frac{4x-1}{7x-3} = 0,5 \\ \\ \frac{4x-1}{7x-3} = \frac{1}{2} \\ \\ \frac{8x-2-7x+3}{7x-3} =0 \\ \\ x+1 = 0 \\ x=-1$

Проверка:
$x=-1 \\ log_{0,5}(-4-1) - log_{0,5}(-7-3)=1$
Выражение под логарифмом меньше нуля ⇒ x = -1 --- посторонний корень.

Ответ: нет корней

3.
$2lg^2x+3=7lgx \\ lgx = t \\ \\ 2t^2+3=7t \\ 2t^2-7t+3=0 \\ D=49-2*3*4 = 49-24 = 25 \\ \sqrt{D} =5 \\ t= \frac{7б5}{4} \\ \\ t_1 = \frac{1}{2} \\ t_2=3 \\ \\ lgx=\frac{1}{2} \\ lgx=3 \\ \\ x_1=10^{0,5} \\ x_2=10^3 \\ \\ x_1= \sqrt{10} \\ x_2=1000$

Проверка:
$x = \sqrt{10} \\ 2lg^2 \sqrt{10} +3=7lg \sqrt{10} \\ \\ 2*( \frac{1}{2} )^2 +3=7*\frac{1}{2} \\ \\ \frac{2}{4} +3=\frac{7}{2} \\ \\ \frac{7}{2}=\frac{7}{2}$
Равенство верно. x = √10 --- корень уравнения.

$x=1000 \\ 2lg^21000+3=7lg1000\\ 2*3^2+3=7*3 \\ 2*9+3=21 \\ 21=21$
Равенство верно. x = 1000 --- корень уравнения.

Ответ: √10; 1000