Причастие - это форма глагола, отвечает на вопрос "какой?"
Деепричастие - форма глагола, отвечает на вопрос "Что делая?" или "Что сделав?"
1) Выпив не поморщившись противное лекарство, он задержал меня на лавке под полатями.
Выпив - что сделав? - деепричастие,
Выпив не поморщившись противное лекарство - деепричастный оборот.
2) Корней молчал, взглядывая из-под не переставая шевелившихся черных бровей то на хозяина, то на Агашу.
взглядывая - что делая? - деепричастие
шевелившихся - каких? - причастие
взглядывая из-под не переставая шевелившихся черных бровей то на хозяина, то на Агашу - деепричастный оборот.
Хотя тут есть и причастие, но его можно выкинуть:
взглядывая из-под черных бровей то на хозяина, то на Агашу
Поэтому оборот деепричастный, а не причастный.
3) Касьян сохранял упорное молчание и на мои вопросы отвечал отрывисто и нехотя.
Здесь нет ни причастия, ни деепричастия, ни оборотов.
Отрывисто и нехотя - наречия, отвечают на вопрос как?
4) Не медля в дальней стороне, спеши сюда.
Не медля - чего не делая? - деепричастие.
Не медля в дальней стороне - деепричастный оборот.
5) Маленькие осинки побеждают даже траву и вырастают, несмотря ни на что.
Здесь нет ни причастия, ни деепричастия, ни оборотов.
Несмотря на - это предлог, ни - частица, что - местоимение
Это устойчивое выражение, которое выделяется запятыми, но не является никаким оборотом.