Логари́фм числа {\displaystyle b} по основанию {\displaystyle a} (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число»[1]) определяется[2] как показатель степени, в которую надо возвести основание {\displaystyle a}, чтобы получить число {\displaystyle b}. Обозначение: {\displaystyle \log _{a}b}, произносится: «логарифм {\displaystyle b} по основанию {\displaystyle a}».
Из определения следует, что нахождение {\displaystyle x=\log _{a}b} равносильно решению уравнения {\displaystyle a^{x}=b}. Например, {\displaystyle \log _{2}8=3}, потому что {\displaystyle 2^{3}=8}.
Вычисление логарифма называется логарифмированием. Числа {\displaystyle a,b} чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов[⇨].
Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений[3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»[4].
Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 годушотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.
Со временем выяснилось, что логарифмическая функция {\displaystyle y=\log _{a}x} незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основаниями {\displaystyle 2} (двоичный), {\displaystyle e} (натуральный логарифм) и {\displaystyle 10} (десятичный).