Координаты точки С(0;y;0). (так как эта точка лежит на оси 0Y (дано).
|AC|=√(1+(y+2)²+1)=√(2+y²+4y+4)=√(y²+4y+6).
|CB|=√(9+(y-2)²+9)=√(18+y²-4y+4)=√(y²-4y+22).
АС=СВ (дано), значит и АС²=СВ². Тогда
y²+4y+6=y²-4y+22,
8y=16,
y=2. Итак, точка С имеет координаты С(0;2;0).
Пусть середина отрезка АВ - точка Н, тогда отрезок СН - высота равнобедренного треугольника АВС.
Имеем: Н(2;0;-1) и |CH|=√(2²+(-2)²+(-1)²)=√(4+4+1)=√9 = 3.
Половина основания: |АH|=√(1²+2²+(-2)²)=√(4+4+1)=√9 = 3.
Тогда площадь треугольника АВС равна
|CH|*|AH|=3*3=9.
Ответ: Sabc=9 ед².
Второй вариант:
Мы видим после нахождения координат точки С(0;4;0), что вектора
АС{-1;4;-1} и СВ{3;0;-3} перпендикулярны друг другу, так как их скалярное произведение равно 0: Xac*Xcb+Yac*Ycb+Zac*Zcb = -3+0+3=0.
Тогда треугольник АВС прямоугольный с Sabc=(1/2)*3√2*3√2=9 ед²
