Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении ** 4, и ** 15 дает равные...

Question

Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении на 4, и на 15 дает равные ненулевые остатки и первая цифра справа в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите одно такое число.
Пожалуйста, с объяснением!

Answer 1

Пусть остатки при делении числа n на 4 и на 15 равны r, r = 1, 2 или 3. Тогда n - r делится на 4 * 15 = 60 (и оканчивается на 0), тогда последняя цифра в записи числа n равна r, а число, образованное первыми двумя цифрами, делится на 6.

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма первых двух цифр в записи 2r, так что для того, чтобы число, образованное этими цифрами, делилось на 6, нужно, чтобы сумма цифр делилась на 3, и вторая цифра была чётной. Значит, r = 3, сумма цифр равна шести, и обе цифры чётные.

6 = 6 + 0 = 2 + 4 = 4 + 2, что даёт три возможных числа:
603, 243 и 423. 

Answer 2

Ненулевой остаток от деления на 4 может быть равен 1, 2 или 3.
Если при делении на 15 остаток такой же, то и при делении на 60 тоже.
Значит, это трехзначное число, которое можно представить как
100a + b + c = 60p + 1; или 60p + 2; или 60p + 3.
Так как 60 делится на 10, то c = остатку, 1, 2 или 3.
И это число с есть среднее арифметическое чисел a и b.
Если с = 1, то a = b = 1, но число 111 при делении на 60 дает остаток 51.
Если с = 2, то а = 3, b = 1, или наоборот, a = 1, b = 3, или a = 4, b = 0.
Но числа 132, 312 и 402 тоже дают не те остатки.
Значит, c = 3. Тогда возможны такие пары:
(a; b) = (4; 2); (2; 4); (1; 5); (5; 1); (6; 0)
Из чисел 420, 240, 150, 510, 600 только 240 и 600 делятся на 60.
Ответы: 243 и 603