Помогите решить. Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью 0,001

Рассмотрим функцию
$f(x)=\mathop{\mathrm{arctg}}x-x+\dfrac{x^3}3$

Оценим её максимальное значение на отрезке $[0,1/4]$ . На этом отрезке она дифференцируема,
$f'(x)=\dfrac1{1+x^2}+(1+x^2)-2=\dfrac{x^4}{1+x^2}\leqslant x^4\leqslant\left(\dfrac 14\right)^4\ \textless \ \dfrac1{250}=0.004$
$0\leqslant f(x)\leqslant f(0)+0.004\cdot\dfrac14=0.001$

$\displaystyle\int_{-0.5}^0\mathop{\mathrm{arctg}}x^2\,dx=\int_{-0.5}^0\left(x^2-\dfrac{x^6}3\right)\,dx+\int_{-0.5}^0 f(x^2)\,dx$

Оцениваем второй интеграл:
$\displaystyle \left|\int_{-0.5}^0 f(x^2)\,dx\right|\leqslant\int_{-0.5}^0\left|f(x^2)\right|\,dx\leqslant\int_{-0.5}^00.001\,dx\ \textless \ 0.001$
Его значение меньше допустимой погрешности, его можно отбросить.

$\displaystyle\int_{-0.5}^0\mathop{\mathrm{arctg}}x^2\,dx\approx\int_{-0.5}^0\left(x^2-\dfrac{x^6}3\right)\,dx=\left.\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^7}{21}\right|_{-0.5}^0=\\=\dfrac1{24}-\dfrac1{2688}=\dfrac{37}{896}\approx0.041$

Ответ. 0,041