Task/26742550
-------------------
(sin3x+sin5x)² =(cos3x +cos5x)² ;
1- ый способ: (в лоб)
sin²3x +2sin3x*sin5x+sin²5x =cos²3x +2cos3x*cosx+cos²5x ;
(cos²5x - sin²5x) +(cos²3x - sin²3x) +2(cos3x*cos5x - sin3x*sin5x)=0 ;
cos10x+cos6x+2cos(3x+5x)= 0 ;
2cos8xcos2x +2cos8x =0 ⇔2cos8x*(1+cos2x) =0⇔4cos²x*cos8x=0 ;
а) cosx =0 ⇒ x =π/2 +πn , n∈Z.
или
б) cos8x =0 ⇒ 8x =π/2 +πn , n∈Z. ⇔x =π/16+(π/8)*n , n∈Z.
ответ: π/2 +πn , π/16+(π/8)*n , n∈ Z.
---------------
2-ой способ: (преобразования сумм в произведения)
(2sin4x*cosx)²=(2cos4x*cosx)² ⇔4cos²x(cos²4x -sin²4x) =0⇔
4cos²x*cos8x=0 ....
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
3sin4x= (cos2x -1)tgx ;
* * *sin4x=sin2*2x =2sin2x*cos2x= 4sinx*cosx*cos2x * * *
12sinx*cosx*cos2x=(cos2x -1)*(sinx /cosx) ; |*cosx ≠0
12sinx*cos²x*cos2x =(cos2x -1)*sinx ;
sinx(12cos²x*cos2x -(cos2x-1) ) =0 ;
sinx(6cos2x*2cos²x -cos2x+1) =0 ; * * *2cos²x =1+ cos2x * * *
sinx(6cos2x*(cos2x+1) - cos2x+1) =0 ;
sinx(6cos²2x+5cos2x+1) =0 ;
а) sinx =0 ⇒x =πn ,n∈Z.
или
б) 6cos²2x+5cos2x+1 =0 ; квадратное уравнение относительно cos2x
cos2x = (-5 -1)/12 = -1/2 ⇒2x =±(π-π/3)+2πn , n∈Z⇔x =±π/3+πn , n∈Z.
cos2x = (-5 +1)/12= -1/3⇒2x =±(π-arccos(1/3))+2πn .
x =±(π/2-(1/2)*arccos(1/3) )+πn ; n∈Z.
ответ: πn , ±π/3+πn , ±(π/2-(1/2)*arccos(1/3) )+πn ; n∈Z.
* * * * * * *
sinx+cosx - 2√2sinx*cosx =0 ;
√2sin(x+π/4) =√2sin2x =0 ;
sin2x - sin(x+π/4) =0 ;
2sin(x/2 -π/8)*cos(3x/2+π/8) =0 ;
а) sin(x/2 -π/8)=0 ⇒ x/2 -π/8=πk , k∈Z ⇔ x=π/4+2πk , k∈Z .
б) cos(3x/2+π/8) =0 ⇒ 3x/2 +π/8=π/2+πn , n∈Z ⇔x=π/4+(2π/3)n , n∈Z.
При n=3k из второй серии решений (x=π/4+(2π/3)n ) получается первое (x=π/4+2πk).
ответ: π/4+(2π/3)n , n∈Z.