25 баллов. Алгебра 10 класс

$\mathtt{4^{\sqrt{3x^2-2x}+1}+2=9*2^{\sqrt{3x^2-2x}};~4*(2^{\sqrt{3x^2-2x}})^2-9*2^{\sqrt{3x^2-2x}}+2=0}$

подкоренное выражение всегда неотрицательно, поэтому $\mathtt{3x^2-2x\geq0}$ , откуда получаем, что $\mathtt{x\in(\infty;0]U[\frac{2}{3};+\infty)}$

положим, что $\mathtt{t=2^{\sqrt{3x^2-2x}}}$ , тогда $\mathtt{4t^2-9t+2=0}$ , где $\mathtt{t\ \textgreater \ 0}$

$\mathtt{4t^2-9t+2=0;~(t-\frac{1}{4})(t-2)=0}$

возвращаемся к обратной замене:

1. $\mathtt{2^{\sqrt{3x^2-2x}}=t_1=\frac{1}{4}=4^{-1}=2^{-2},~\to~\sqrt{3x^2-2x}=-2}$
решений нет

2. $\mathtt{2^{\sqrt{3x^2-2x}}=t_2=2=2^1,~\to~\sqrt{3x^2-2x}=1,~\to~3x^2-2x=1;}$
$\mathtt{3x^2-2x-1=0;~(x+\frac{1}{3})(x-1)=0,~\to~\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x_1=-\frac{1}{3}}\\\mathtt{x_2=1}\end{array}\right}$

ОТВЕТ: $\mathtt{x=-\frac{1}{3};~1}$