Sinx+cosx=1 с помощью дополнительного угла

На деле это будут углы $\frac{ \pi}{2}$ и $2 \pi$ , с периодом, собственно, $2 \pi$
Это очевидно, так сказать. Докажу формально:
Возведем в квадрат и проведем пару операций:
$sin^{2}x+cos^{2}x+2sinxcosx = 1 \\ 2sinxcosx=0\\sinxcosx = 0$
Итого, либо синус либо косинус равны нулю. Такое может быть только при углах $\frac{ \pi}{2}$ с таким же периодом $\frac{ \pi}{2}$ .
Имеем 4 угла: $2 \pi$ , $\frac{ \pi }{2}$ , $\pi$ , $\frac{ 3\pi }{2}$ . Другие углы будут принимать эти же значения в силу периодичности. подставим эти углы в условие.
$sin2 \pi +cos2 \pi = 0+1 = 1$
$sin \frac{ \pi}{2} +cos \frac{ \pi}{2}=1+0 = 1$
$sin \pi +cos \pi =0-1=-1\\sin \frac{ 3\pi}{2}+cos \frac{ 3\pi}{2}=-1+0=-1$

Итого, подходят только углы $2 \pi +2 \pi k$ и $\frac{ \pi}{2} +2 \pi k$ , где $k$ пробегает множество целых чисел