Task/27047563
-------------------
Решите систему : { 3xy +2 = y³/x ,
{ 2xy +1 = x³/y .
-----------
ОДЗ : { x ≠ 0 ; y ≠0 .
Умножаем первое уравнение на второе ,получим:
6(xy)²+4xy +2 =(xy)² ⇔
5(xy)²+7xy +2 =0 квадратное уравнение относительно t = xy
* * * 5t² +7t +2 =0 ⇒t₁ = -2/5 ; t₂ = -1 * * *
[ xy = - 2/5 ,
[ xy = -1 .
* * * Умножая каждое уравнение системы на xy система перепишем в другом виде * * *
{ 3xy +2 = y³/x , { xy(3xy +2) = y⁴ ,
{ 2xy +1 = x³/y ; ⇔ { xy(2xy +1) = x⁴ ;
-------
а)
Если xy = - 2/5 левые части уравнений отрицательные , правые положительные ⇒ нет решений .
-------
б)
xy = - 1 . ( ⇒ x и y разных знаков ! )
{1 = y⁴ , { y² =1 , { y = ±1 ,
{1 =x⁴ ; ⇔ { x² = 1; ⇔ { x = ±1 .
учитывая , что x и y разных знаков ,окончательно получаем :
ответ : (-1 ;1) , (1 ; -1).
* * * * * * * P.S. * * * * * * *
t⁴ =1 ⇔(t²)² -1² =0⇔(t² -1)(t²+1) =0 ⇔(t -1)(t+1)= 0