W=sin((x+1)/2)+2*cos((x+1)/2)= √5 *( (1/√5*sin((x+1)/2) + (2/√5)*cos((x+1)/2) ),
т.к. ( (1/√5)^2 + (2/√5)^2 = (1/5)+(4/5) = 1.
то существует такой угол φ, что cos(φ)=(1/√5), и sin(φ) = (2/√5), тогда
W = √5 *( sin((x+1)/2)*cos(φ) + cos((x+1)/2)*sin(φ) ) = √5 *sin( (x+1)/2 +φ),
φ - константа и φ=arcsin(2/√5).
таким образом подкоренное выражение = √5 *sin( (x+1)/2 +φ) + 1,
-1<=sin( (x+1)/2 + φ) <= 1<br>-√5 <=√5*sin( (x+1)/2 +φ) <= √5,<br>1- √5<=√5*sin( (x+1)/2 +φ) + 1 <= 1+√5 <br>1-√5 <0,<br>а функция f(t) = √t, определена лишь для t>=0, поэтому все такие икс, что
√5*sin( (x+1)/2 +φ) + 1 < 0, не входят в область определения исходной функции, тогда мы рассматриваем √5 *sin( (x+1)/2 +φ)+1 >=0, поэтому
0<=√5 *sin( (x+1)/2 +φ) +1 <= 1+√5<br>функция f(t) = √t, строго возрастающая, значит большему значению аргумента соответствует большее значение этой функции, поэтому
√0 <= √ (√5*sin( (x+1)/2 +φ) +1) <= √(1+√5);<br>то есть
0<=y<=√(1+√5)<br>Искомая область значений функции y есть [0; √(1+√5)].