** олимпиаде по математике председатель жюри провел опрос, чтобы узнать, кто из 40...

Question

На олимпиаде по математике председатель жюри провел опрос, чтобы узнать, кто из 40 участников решил задачи А, B и С. Результаты опроса оказались таковы: задачу А решили 25 учащихся, задачу B - 22, задачу С - 22, задачу А или B решили 35 учеников, А или С - 32, B или С - 31, все три задачи решили 10 учащихся. Сколько участников олимпиады решили только одну задачу? Сколько участников не решили ни одной из трех задач?

Answer 1

Обозначим через a, b, c - число участников, решивших соответственно задачу A, B, C; через ab, ac, bc - решивших задачи A и B, A и C, B и C соответственно; через abc - решивших все три задачи. 

По условию a=25; b=22; c=22; a+b-ab=35 (⇒ab=25+22-35=12); a+c-ac=32 (⇒ac=25+22-32=15); b+c-bc=31 (⇒bc=22+22-31=13); abc=10

Выражение a+b+c-ab-ac-bc+abc=25+22+22-12-15-13+10=39 - столько участников решили хотя бы одну задачу. Поэтому не решил ни одной задачи один участник.

Выражение 39-ab-ac-bc+2abc=39-12-15-13+20=19 - столько участников решили ровно одну задачу.