Помогите решить задачи :) 1. Найдите неизвестные стороны и площадь прямоугольного...

Question

Помогите решить задачи :)

1. Найдите неизвестные стороны и площадь прямоугольного треугольника АВС ( угол С прямой, СН - высота), если известно, что АН - 9 см, ВН - 16 см.
2. Найдите неизвестные стороны и площадь прямоугольного треугольника АВС ( угол С прямой, СН - высота), если известно, что АС - 20 см, АН - 16 см.
3. Два равнобедренных треугольника имеют равные угла, противолежащие основаниям, в одном из треугольников боковая сторона равна 5 см, а высота, проведенная к основанию равна 4 см. Найдите периметр второго треугольника, если его боковая сторона равна 15 см.

Answer 1

№1,№2 . Решение в приложениях.
№3.
Дано:
ΔАВС - равнобедренный 
АВ=ВС= 5 см - боковые стороны , АС - основание
ВН ⊥ АС , ВН = 4 см
ΔА₁В₁С₁ - равнобедренный
А₁В₁ = 15 см - боковые стороны , А₁С₁ - основание
В₁Н₁⊥А₁С₁
∠АВС = ∠А₁В₁С₁
Найти: Р а₁в₁с₁ - ?
Решение.
I. Рассмотрим равнобедренный   ΔАВС:
1) АВ=ВС=5 см (боковые стороны)
2) ∠А = ∠С  (углы при основании АС)
3) ВН - высота к основанию АС  => ∠АНВ =∠СНВ=90° .
Т. : Высота к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой. 
ВН - медиана  =>  АН=НС   => AC = AH+HC = 2AH=2HC
BH - биссектриса => ∠АВН=∠СВН 
Следовательно ΔАВН и ΔСВН - прямоугольные и равные треугольники.
4) Рассмотрим  ΔАВН:
 AB=5 см  - гипотенуза;  АН, ВН=4см  - катеты
 Т. Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
АВ²=АН²+ВН²  => AH=√(AB²-BH²)  => AH=√(5²  - 4²) = √(25-16)=√9 = 3 (см)
Из п.3)   АС=2АН  => АC=2*3 = 6 (см)
5) Равс =  АВ+ВС+АС   => Pавс = 5 + 5 + 6  = 16 (см)

II.
1) Т. : Равнобедренные треугольники подобны, если у них углы между боковыми сторонами равны =>  ΔАВС ~ ΔA₁B₁C₁ :
∠АВС = ∠А₁В₁С₁ (по условию) , АВ~A₁B₁ ,  ВС~В₁С₁ , АС ~ A₁C₁
2) Сходственные стороны подобных треугольников пропорциональны и равны коэффициенту подобия: 
А₁В₁/АВ  = В₁С₁/ВС= А₁С₁/АС = k        =>  k = 15/5 = 3  
3) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:
Ра₁в₁с₁/Равс = k  =  3     => Pa₁в₁с₁ = 3Равс  => Pa₁в₁с₁ = 3*16 = 48 (см)

Ответ: Ра₁в₁с₁ = 48 см.

---

---