Сделайте пожалуйста 4-е б) и 5-е

Question

Дан 1 ответ

viva34_zn · Answer 1 · 2018-05-27T22:28:53+0000

Дело такое, надо найти точки, где производные равны нулю или не существуют. Не существует она лишь в точке 0.
Найдем остальное:
$y'= \frac{e^{x}x^{2}-2xe^{x}}{x^{4}} = \frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}}$
Приравняем к нулю:
$\frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}} =0\\ e^{x}\ \textgreater \ 0, x-2=0\\x=2$
Итого, есть 2 критические точки, это х=0 и х=2.
Далее метод интервалов. Подставим в уравнение производной значение меньше нуля, например -1.
$f'(-1)=\frac{e^{-1}(-1-2)}{(-1)^{3}} = \frac{-3}{-e} = \frac{3}{e} \ \textgreater \ 0$
То есть функция растет от минус бесконечности до 0.
Подставим значение между нулем и двойкой, например единицу.
$f'(1)=\frac{e^{1}(1-2)}{(1)^{3}} = \frac{-1}{e} \ \textless \ 0$
То есть функция убывает на промежутке от точки х=0 до точки х=2
Подставлять число большее двойки смысла нет. Очевидно, что там значение производной будет положительно.
Иого имеем:
Функция растет на промежутках [-∞, 0]∪[2,+∞] и убывает на промежутке (0, 2]. Функция не имеет своего максимума, так как
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x^{ \alpha }} = +\infty$
где $\alpha$ - любое число
Функция у нас принимает только положительные значения. Также функция имеет минимум, это нуль. Расписывать не стану, очевидный предел.
Итак, 4 задача закончена.
Перейдем к 5:
На отрезке [1,3] минимум, очевидно, в точке х=2, так как является точкой локального минимума, то есть на [1,2] функция убывает а на [2,3] - возрастает.
Что б найти максимум - надо банально подставить x = 1 и x = 3 в исходное уравнение.
$f(1)= \frac{e^{1}}{1^{2}} =e$
$f(3)= \frac{e^{3}}{3^{2}}$
Сравним:
$e^{3}\ \textgreater \ \ \textless \ 9e\\ e^{2}\ \textgreater \ \ \textless \ 9 \\ e<3$
Итого: точка максимума отрезка [1,3] это точка 3.
Все, задача решена. Минимум отрезка [1,3] в точке х=2, максимум - в точке х=3.