Пример 1. Решить уравнениеРешение. Рассмотрим первый случай , то есть (выражение под модулем неотрицательно). Уравнение в этом случае принимает вид , его решение . Это решение удовлетворяет условию . Таким образом, — корень исходного уравнения.Во втором случае , то есть . В этом случае уравнение преобразуется к виду , его решение . Этот корень не удовлетворяет условию , таким образом, не является корнем исходного уравнения.Ответ. .Пример 2. Решить уравнениеРешение. Сначала найдем корни уравнения . Это . Следовательно, условие выполняется при и при , а условие — при . Рассмотрим два случая:1) .Исходное уравнение на этом множестве имеет вид .Его корни . Из них только попадает под наш случай. Докажем это:Так как , то , и, действительно, . Для доказательства левой части двойного неравенства возведем его в квадрат (это можно сделать, поскольку обе части неравенства неотрицательны):Так как , последнее неравенство также выполняется, и корень — посторонний. Из очевидной цепочки неравенств следует, что является корнем уравнения.2) .В этом случае , и от исходного уравнения мы переходим к уравнению . Решения этого уравнения: и . Из них только число попадает на указанный промежуток:корень — посторонний.Ответ. .Замечание. Здесь описан стандартный прием, всегда приводящий к цели. Однако, как мне совершенно справедливо указали в комментариях Nynko и Талгат, существуют и более простые способы решения данного примера.Вот что предлагает Nynko. Нужно решить эквивалентную совокупность систем : и .Сравнивать полученные корни теперь придется с рациональным числом , что намного проще.Если под модулем стоит более простое выражение, чем выражение в правой части, то нужно применять метод, описанный в примере 2.Пример 3. Решить уравнениеРешение. Корни выражений, стоящих под модулем, — и . Числовая ось разбивается точками и на три промежутка, изображенных на рис. 12: