Решить определенный интеграл ,спаситееееее

Для упрощения будем загонять под знак дифференциала косинус двойного угла. И далее приводить дифференциал к виду подынтегральной функции. Тогда интеграл будет табличный, от степенной функции.

$\int\limits^{ \pi /4}_0 {cos2x*(1-sin2x)^4} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi /4}_0 {(1-sin2x)^4} \, d(sin2x) = \\ \\ = -\frac{1}{2} \int\limits^{ \pi /4}_0 {(1-sin2x)^4} \, d(-sin2x) = -\frac{1}{2} \int\limits^{ \pi /4}_0 {(1-sin2x)^4} \, d(1-sin2x) = \\ \\ = -\frac{1}{2} \frac{1}{4+1} (1-sin2x)^{4+1}|_0^{ \pi /4} = - \frac{1}{10} (1-sin2x)^{5}|_0^{ \pi /4} = \\ \\ = - \frac{1}{10} (1-sin \frac{ \pi }{2} )^{5} + \frac{1}{10} (1-sin 0 )^{5} = \frac{1}{10}$