Отношение площади к полупериметру -- это радиус вписанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABCABC с прямым углом CC, обозначив точки касания вписанной окружности со сторонами BCBC, ACAC, ABAB через A1A1, B1B1, C1C1 соответственно. Положим x=AB1=AC1x=AB1=AC1, y=BA1=BC1y=BA1=BC1. Катеты при этом равны x+rx+r и y+ry+r, а гипотенуза x+yx+y, где r=243r=243 -- радиус вписанной окружности.
Теорема Пифагора даёт (x+r)2+(y+r)2=(x+y)2(x+r)2+(y+r)2=(x+y)2, что равносильно xy=xr+yr+r2xy=xr+yr+r2, а также (x−r)(y−r)=2r2=2⋅310(x−r)(y−r)=2r2=2⋅310. Нужно найти число решений этого уравнения в натуральных числах, где rr. По каждому такому решению строится свой треугольник. Число 2131021310 имеет (1+1)(10+1)=22(1+1)(10+1)=22 натуральных делителя, поэтому оно 1111 существенно различными способами представляется в виде произведения двух натуральных сомножителей. Столько же будет и треугольников.