Линейное дифференциальное уравнение первого порядка y'-y/(1-x2)=1+x Помогите плз решить

0 голосов
52 просмотров

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка y'-y/(1-x2)=1+x
Помогите плз решить

Математика (1.3k баллов) | 52 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Y' - y/(1 - x^2) = 1 + x

Решаем однородное уравнение.
y' - y/(1 - x^2) = 0
y'/y = 1/(1 - x^2)
(ln y)' = 1/2 * (1/(1 + x) + 1/(1 - x))
ln y = 1/2 * (ln(1 + x) - ln(1 - x)) + ln C
y = C * sqrt((1 + x)/(1 - x))

C = C(x), подставляем в исходное уравнение.

C'(x) * sqrt((1 + x)/(1 - x)) = 1 + x
C'(x) = sqrt(1 - x^2)

Нужно вычислить интеграл от правой части. Интегрируем по частям:
\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,dx=x\sqrt{1-x^2}+\int\dfrac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}=x\sqrt{1-x^2}-\\-\int\frac{(1-x^2-1)\,dx}{\sqrt{1-x^2}}=x\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{1-x^2}\,dx+\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\ 2\int\sqrt{1-x^2}\,dx=2C+x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\\ \int\sqrt{1-x^2}\,dx=C+\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}2+\dfrac{\arcsin x}2

y(x)=\left(C+\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}2+\dfrac{\arcsin x}2\right)\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}

(148k баллов)
Похожие задачи