В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, угол C=90°, угол А=30°, BC=10. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами. Высота пирамиды равна 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Если боковые реба пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами, то вокруг основания можно описать окружность, и основание высоты пирамиды находится в центре этой окружности.
Центр О описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит в середине его гипотенузы.
Катет ВС=10, противолежит углу 30°, след. гипотенуза
АВ=2*10=20
Площадь боковой поверхности пирамиды - сумма площадей его граней,
площадь каждой из них найдем по формуле
S=ah.
Для грани, основанием которой является гипотенуза, высота равна 5.
S Δ ADB=DO*AB:2=5*20:2=50
Для треугольника CDB высота
DK²=DO²+OK²
ОК=АС:2
АС=АВ*sin (60)=10√3
ОК=5√3
DK=√(25+ 75)=10
S ΔCDB=10*10:2=50
Для АDC высота
DM²=DO²+OM²=√50=5√2
S ADC=AC*DM:2=25√6
Площадь боковой поверхности пирамиды
Sбок DАВС=S ADB+SCDB+S ADC=100+25√6