Помогите, пожалуйста!! докажите равенство

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Начнем с числителя
Заметим, что по формуле
$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$ . Так как тангенс - функция нечетная, то
$\tan(-\frac{5\pi}{4})=-\tan(\frac{5\pi}{4})$

Значит числитель дроби переделается в вид

$\cot(\frac{5\pi}{4})+\sin(\frac{3\pi}{2})\tan(-\frac{5\pi}{4})=\cot(\frac{5\pi}{4})-\tan(-\frac{5\pi}{4})=$

$=\cot(\frac{5\pi}{4})-\tan(-\frac{5\pi}{4})=\cot(\frac{5\pi}{4})+\tan(\frac{5\pi}{4})$

Заметим, что $\frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}$ - это угол третьей четверти. Здесь тангенсы и котангенсы положительны. По формулам приведения

$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$

$\cot(\pi+\alpha)=\cot\alpha$

Числитель равен

$\cot(\frac{5\pi}{4})+\tan(\frac{5\pi}{4})=\cot(\pi+\frac{\pi}{4})+\tan(\pi+\frac{\pi}{4})=$

$\cot(\frac{\pi}{4})+\tan(\frac{\pi}{4})=1+1=2$

Знаменатель тоже нужно упростить

$\cos(\frac{11\pi}{6})=\cos(2\pi-\frac{\pi}{6})$

По формулам приведения

$\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha$

$\cos(2\pi-\frac{\pi}{6})=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Используя формулы приведения
$\sin(2\pi+\alpha)=\sin\alpha$

$\sin\frac{11\pi}{4}=\sin(2\pi+\frac{3\pi}{4})=\sin(\frac{3\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Теперь преобразуем знаменатель

$2\cos\frac{11\pi}{6}+2\sin^2\frac{11\pi}{4}=2*\frac{\sqrt{3}}{2}+2*(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\sqrt{3}+2*\frac{1}{2}=\sqrt{3}+1$

Теперь запишем в виде дроби

$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2*(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2*(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\frac{2*(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\sqrt{3}-1$

Ответ: $\sqrt{3}-1$

bearcab_zn (114k баллов) 14 Март, 18