Задание 1.
Уравнение с разделимыми переменными. Умножим обе части на dx и проинтегрируем.
∫dу=∫(х+sinx)dx
у=x²/2 -cosx +C - общее решение.
Поскольку при х=0 у=1, то
1=0/2 -cos0 +С
1=-1+С
С=2 и у=x²/2 -cosx +2 - частное решение.
Задание 2.
Уравнение с разделимыми переменными.
Умножим обе части уравнения на у/(1+х) и проинтегрируем.
∫dy/у=∫2dx/(1+х)
㏑|у|=2㏑|1+х|+С
㏑|у|=㏑(1+х)²+С- общее решение.
Поскольку при х=1 у=1, то
㏑|1|=㏑(1+1)²+С
0=㏑4 +С
С=-㏑4 и ㏑|у|=㏑(1+х)²-㏑4
㏑|у|=㏑ (1+х)²/4
у=(1+х)²/4 - частное решение.
Задаине 3.
Уравнение с разделимыми переменными.
Умножим обе части уравнения на х²у², разделим переменные и проинтегрируем.
∫у²dy=-∫x²dx
у³/3=-х³/3 +С
у³=-х³ +3С - общее решение.
Поскольку при х=0 у=0, то
0=-0+3С
С=0 и у³=-х³ - частное решение.