Lim x^2*e^-10x x__>+∞

$\lim_{x \to +\infty} x^2*e^{-10x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^{10x} }$

Имеем неопределённость ∞/∞, которую можно раскрыть с помощью правила Лопиталя. Суть правила в том, что надо по отдельности взять производные в числителе и в знаменателе. Иногда приходится это делать несколько раз подряд. После взятия производной выражения значительно упрощаются, а неопределённость исчезает. Кроме неопределённости ∞/∞, правило Лопиталя применяется при неопределённости 0/0.

$\lim_{x +\to \infty} \frac{x^2}{e^{10x} } = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2)'}{(e^{10x)'} } = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{10e^{10x} } = \\ \\ = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x)'}{(10e^{10x})' } = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{100e^{10x} } = \frac{2}{100e^{\infty}} =0$

Правило Лопиталя пришлось применить два раза. В числителе осталась константа, а в знаменателе экспонента практически не изменилась. При подстановке вместо икса бесконечности получили е в бесконечной степени. А 2 делить на бесконечность будет нуль в пределе.