Решить систему уравнений

Question

Дан 1 ответ

Kuкush_zn · Answer 1 · 2018-05-28T00:05:57+0000

1) Заметим, что x+y≠0 (иначе левые части второго и третьего уравнения равны, а правые части - не равны); y-z≠0 (иначе левые части первого и третьего уравнений равны, а правые - не равны), а также z+x≠0 (иначе левые части первого и второго уравнений равны, а правые - не равны).
Поэтому домножим, соответственно, первое уравнение на -(x+y), второе - на y-z, третье - на z+x.
Получим:
$\left \{ {{x^4-y^4=-15(x+y)} \atop {y^4-z^4=-13(y-z)}} \atop {z^4-x^4=-20(z+x)}\right.$
Сложим все три уравнения, получим:
35x+28y+7z=0;
5x+4y+z=0.
z=-4y-5x
Подставив данное z в третье уравнение, умножив его на 3 и вычев удвоенное первое урвнение, получим:
$94y^3+386xy^2+514x^2y+236x^3=0$
$47y^3+193xy^2+257x^2y+118x^3=0$
$y^3+8x^3+46y^2(y+2x)+101xy(y+2x)+55x^2(y+2x)=0$
$(y+2x)(y^2-4xy+4x^2+46y^2+101xy+55x^2)=0$
$(y+2x)(47y^2+97xy+59x^2)=0$
$(y+2x)(46y^2+92xy+46x^2+y^2+3xy+ \frac{9}{4}x^2+ \frac{43}{4} x^2)=0$
$(y+2x)(46(x+y)^2+(y+ \frac{3}{2}x)^2+ \frac{43}{4} x^2)=0$
Так как x≠0 (легко убедиться прямой подстановкой), то второй множитель всегда больше 0,
значит y=-2x - единственное решение.
Подставим его в первое уравнение, получим:
$-3x*5x^2=15; x^3=-1; x=-1.$
y=-2*(-1)=2;
z=-4*2-5*(-1)=-3.
Ответ: (-1;2;-3)