Живуч как кошка.Применяется в значении крепок, устойчив, способен выдержать многие трудности и т.д.
Происхождение данного фразеологизма связано с представлениями о том, что у кошки 9 (иногда встречается 7) жизней. Мол, сложно кошку вывести из строя, т.к. она невероятно живуча. Кроме того, кот гибкий и обладает множеством природных преимуществ, дабы оставаться живым и здоровым, взять хотя бы подушечки на лапках, которые помогают коту смягчать приземление и вообще способность кота«группироваться». Даже если он упал с большой высоты, он способен принять нужную позу и приземлиться так, чтобы не нанести себе вреда.
Как кошка с собакой.Применяется в отношении каких-либо людей, которые живут не в мире и согласии, а в постоянных распрях, скандалах, ссорах. Достаточно вспомнить кошку, загнанную на дерево собакой и шипящую оттуда, в то время, как ее загонщик громко лает внизу, пытаясь согнать кошку с дерева. Есть сказки, в которых рассказывается, как когда кошка с собакой жили мирно, но вот кошка сделала что-то плохое, за что собака не может ее до сих пор простить и каждый раз, встретив ее на своем пути, пытается прогнать прочь громким лаем.