Найти сумму ряда 1/(n*(n+1))

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$
Разложим общий член ряда на элементарные дроби
$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
Найдем частичную сумму ряда
$S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... - \frac{1}{n+1}$
Перегруппируем слагаемые для удобства
$S_n = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$
Найдем предел частичной суммы при $n \to \infty$
$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left (1 - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - 0 =1$
Так как существует конечный предел, то ряд сходится, а его сумма $S=1$