Помогите решить данное неравенство

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Task/27211428
--------------------
Решить неравенство: 3/(2^(2- x²) - 1)² - 4/(2^(2- x²) - 1)  +1 ≥ 0
------------
замена : t = 2^(2 - x²) - 1 .
3/t² - 4/t +1 ≥ 0 ⇔(t² - 4*t +3) /t² ≥0 ⇔ (t -1)(t -3) / t² удобно решать по методу интервалов
" +"    "+" "-"   "+"
//////////////// (0) //////////////// [1] --------------- [3] ///////////////////////
t ∈ ( -∞ ; 0) ∪ (0 ; 1] ∪ [ 3 ; +∞) * * * [ t < 0 ; 0 < t ≤ 1 ; t ≥ 3 . * * *
Обратная замена : (⇒эквивалентная совокупность неравенств )
[ 2^(2- x²) - 1 < 0 ,   [ 2^(2- x²) < 1 ,     [ 2^(2- x²) < 2⁰  , <br>[ 0 < 2^(2- x²) - 1 ≤ 1 , [ 1 < 2^(2- x²)  ≤ 2 ,   [ 2⁰ < 2^(2- x²)  ≤ 2¹,
[ 2^(2- x²) - 1 ≥ 3 . ⇔ [  2^(2- x²)  ≥ 4 . ⇔ [ 2^(2- x²)  ≥ 2² .
т.к. 2 > 1 , то ⇔
[ 2- x² < 0 ,   [ x² >2 ,     [ x² >2 ,
[0 < 2- x²  ≤ 1 , [-1 ≤  x² -2< 0 , [ 1≤  x² < 2 ,
[2- x²  ≥ 2 . ⇔[ -x² ≥ 0 . ⇔  [ x² ≤ 0 . ⇔

[ |x| >√2 , → /////////////// (-√2)------------------------------- (√2) /////////////////
[ 1  ≤ |x| < √2 , → --------------(-√2)/////// [-1] ----------[1] ///////(√2) -----------
[ x =0 . → -----------------------------------[0] --------------------------------
(объединение ответ)
ответ: x ∈ ( -∞; -√2) ∪ (-√2 ; -1] ∪ {0} ∪ [ 1 ; √2) ∪ (√2 ; +∞) .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
P.S. концовку можно и по другому
а) x² > 2 ⇔x² -(√2)² >0 ⇔ (x +√2)(x -√2) >0
" +"    " - "   " + "
///////////////// (-√2) -------------- (√2) ////////////////////// x∈(-∞; -√2) ∪ (√2 ; +∞) .
---
б) ( двойное неравенство )  1 ≤  x² < 2  ⇔(системе нерав.) { x² ≥ 1 ,
{x² < 2 .⇔
{(x+1)(x-1) ≥ 0 , → { ////////////////// [ -1] ---------------- [1] ////////////////////
{(x+√2)(x-√2) <  0 . → { ----(-√2)//////////////////////////////////////////////(√2)---------<br>
x∈ (-√2 ; -1] ∪ [ 1 ; √2 ) .
---
в) x² ≤ 0  ⇔ x = 0

oganesbagoyan_zn (181k баллов) 28 Май, 18

AnonimusPro_zn · Answer 1 · 2018-05-28T01:29:42+0000

Делаем замену:
$2^{2-x^2}-1=y$
получим:
$\frac{3}{y^2} - \frac{4}{y} +1 \geq 0$
решаем это неравенство:
$\frac{3-4y+y^2}{y^2} \geq 0 \\y^2-4y+3=0 \\D=16-12=4=2^2 \\y_1= \frac{4+2}{2} =3 \\y_2= \frac{4-2}{2} =1 \\ \frac{(y-1)(y-3)}{y^2} =0$
используем метод интервалов(см. приложение 1)
$y \in (-\infty;0)\cup (0;1]\cup [3;+\infty)$
теперь представим все это в виде совокупности:
$\left[\begin{array}{ccc}y \ \textless \ 0\\0\ \textless \ y \leq 1\\y \geq 3\end{array}\right$
сделаем обратную замену:
$\left[\begin{array}{ccc}2^{2-x^2}-1 \ \textless \ 0\\0\ \textless \ 2^{2-x^2}-1 \leq 1\\2^{2-x^2}-1 \geq 3\end{array}\right$
теперь решаем каждое из этих неравенств по отдельности:
$2^{2-x^2}-1 \ \textless \ 0 \\2^{2-x^2}\ \textless \ 1 \\2-x^2\ \textless \ 0 \\x^2\ \textgreater \ 2 \\(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\ \textgreater \ 0$
решаем это неравенство методом интервалов(см. приложение 2)
$x \in (-\infty;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};+\infty)$
решаем двойное неравенство, оно равносильно системе:
$0\ \textless \ 2^{2-x^2}-1 \leq 1 \\ \left \{ {{2^{2-x^2}-1\ \textgreater \ 0} \atop {2^{2-x^2}-1\ \textless \ 1}} \right. \\2^{2-x^2}\ \textgreater \ 1 \\2-x^2\ \textgreater \ 0 \\x^2\ \textless \ 2$
это неравенство уже решено в приложении 2
$x \in (-\sqrt{2};\sqrt{2}) \\2^{2-x^2}-1\ \textless \ 1 \\2^{2-x^2}\ \textless \ 2 \\2-x^2\ \textless \ 1 \\x^2\ \textgreater \ 1 \\(x-1)(x+1)\ \textgreater \ 0$
используем метод интервалов(см. приложение 3)
$x\ (-\infty;-1]U[1;+\infty)$
пересекаем множества решений:
$x \in ((-\sqrt{2};\sqrt{2}))\cap ((-\infty;-1]\cup [1;+\infty))=(-\sqrt{2};-1]\cup [1;\sqrt{2})$
решаем 3 неравенство:
$2^{2-x^2}-1 \geq 3 \\2^{2-x^2} \geq 4 \\2-x^2 \geq 2 \\x^2 \leq 0 \\x \in 0$
объединяем эти промежутки.
Ответ: $x \in (\infty;-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2}-1]\cup \{0\} \cup [1;\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty)$