Y"-4y'+4y=-x^2+3x Пожалуйста ,решите, срочно надоооооо!!!

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
$y''-4y'+4y=0$

Пусть $y=e^{kx}$ в результате замены получим характеристическое уравнение:

$k^2-4k+4=0;~~~~ (k-2)^2=0;~~~~~ k=2$

Общее решение однородного уравнения: $\overline{y}=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$

Рассмотрим функцию $f(x)=-x^2+3x$

$\alpha =0;~~~ P_n(x)=-x^2+3x~~\Rightarrow~~~~ n=2$

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимания, что n=2 частное решение будем искать в виде

$\widetilde{y}=Ax^2+Bx+C$

И вычислим для него первые две производные:
$y'=(Ax^2+Bx+C)'=2Ax+B\\ y''=(2Ax+B)'=2A$

И подставляем в исходное дифференциальное уравнение

$2A-4\bigg(2Ax+B\bigg)+4\bigg(Ax^2+Bx+C\bigg)=-x^2+3x\\ \\ 2A-8Ax-4B+4Ax^2+4Bx+4C=-x^2+3x\\ \\ 4Ax^2+\bigg(4B-8A\bigg)x+2A-4B+4C=-x^2+3x$

Приравниваем коэффициенты при степени х :

$\begin{cases} & \text{ } 4A=-1 \\ & \text{ } 4B-8A=3 \\ & \text{ } 2A-4B+4C=0 \end{cases}~~~\Rightarrow~~~~\begin{cases} & \text{ } A=- \frac{1}{4} \\ & \text{ } B= \frac{1}{4} \\ & \text{ } C= \frac{3}{8} \end{cases}$

Частное решение: $\widetilde{y}=- \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{8}$

Тогда общее решение неоднородного уравнения:

$\boxed{y=\overline{y}+\widetilde{y}=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}- \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{8} }$

LecToRJkeeeee_zn (51.5k баллов) 28 Май, 18