Решение верное с мелкими замечаниями.
1) sin²x≠0, Здесь должна быть проверка, а не утверждение. Нужно проверить, что x=πn не является решением этого уравнения, и только после этого делить на sin²x.
2) для уравнения ctgx =-1 решением должен быть угол из интервала
[0; π], поэтому решением будет x=3π/4+πk
3) x=3π/4+πk; x=arcctg1/3+πk - это независимые корни, поэтому нельзя использовать одно целое число k на двоих.
x=3π/4+πk; x=arcctg1/3+πm , k,m ∈ Z
Вторая часть задания.
Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[-9π/2 ; -3π] ⇔ [-4,5π ; -3π]
В полученные корни
x=3π/4+πk; x=arcctg1/3+πm , k,m ∈ Z
нужно последовательно подставлять значения целых чисел, и полученные х проверять на попадание в интервал
1) x=3π/4+πk= 0,75π + πk
k=-6 ⇒ x=0,75π - 6π = -5,25π < -4,5π ⇒ x∉[-4,5π ; -3π]
k=-5 ⇒ x=0,75π - 5π = -4,25π ⇒ -4,5π<-4,25π<-3π<br> корень подходит
k=-4 ⇒ x=0,75π - 4π = -3,25π ⇒ -4,5π<-3,25π<-3π<br> корень подходит
k=-3 ⇒ x=0,75π - 3π = -2,25π > -3π ⇒ x∉[-4,5π ; -3π]
2) x=arcctg1/3+πm
Сначала нужно понять, как выглядит угол α=arcctg1/3
ctgα = cosα/sinα = 1/3
(0; π/4) ⇒ cos α>sin α ⇒ cosα/sinα > 1 ⇒ угол arcctg1/3
не в этом интервале
(π/4; π/2) ⇒ cosαСледовательно
π/4 < arcctg 1/3 < π/2 ⇔ 0,25π < arcctg 1/3 < 0,5π<br>
m=-5; ⇒ x=arcctg1/3-5π 0,25π < arcctg 1/3 < 0,5π
0,25π-5π < arcctg 1/3-5π < 0,5π-5π
-4,75π < arcctg 1/3-5π < -4,5π
x < -4,5π ⇒ x∉[-4,5π; -3π]
m=-4; ⇒ x=arcctg1/3-4π 0,25π < arcctg 1/3 < 0,5π
0,25π-4π < arcctg 1/3-4π < 0,5π-4π
-3,75π < arcctg 1/3-4π < -3,5π
корень подходит
m=-3; ⇒ x=arcctg1/3-3π 0,25π < arcctg 1/3 < 0,5π
0,25π-3π < arcctg 1/3-3π < 0,5π-3π
-2,75π < arcctg 1/3-3π < -2,5π
x > -3π ⇒ x∉[-4,5π; -3π]
Итак, отрезку принадлежат следующие корни:
x₁= -4,25π; x₂= -3,25π; x₃=arcctg1/3-4π