Прежде всего, основание 17 - в нем 17₁₀ запишется как 10 - подходит, четное.
Далее, основания меньше 17, в которых запись числа 17₁₀ состоит из двух цифр.
17 = 16+1 = 15+2 = 14+3 = 13+4 = 12+5 = 11+6 = 10+7 = 9+8 = 8+9 = ...
Вариант 8+9 уже не подходит.
Легко догадаться, что 16+1 - это 1×16+11 = 11₁₆ в развернутом виде,
15+2 = 12₁₅, 14+3 = 13₁₄ ...
9+8 = 18₉ и это последнее двухзначное число. 8+9 - это совсем не "9₈", поскольку цифра в записи числа не может быть даже равна основанию системы счисления, а не то, чтобы превышать его.
Итак, пока насчитали 5 оснований систем счисления.
Остановились на основании 8.
17 = 2×8+1 = 21₈. Последняя цифра нечетная.
17 = 2×7+3 = 23₇. Последняя цифра также нечетная.
17 = 2×6+5 = 25₆. И здесь последняя цифра нечетна.
17 = 3×5+2 = 32₅. Подходит
17 = 4×4+1, но по основанию 4 не существует четверки в записи.
Все, двухзначные числа закончились.
17 = 1×3² + 2×3¹ + 2×3⁰ = 122₃. Последняя цифра четная.
17 = 10001₂ - последняя цифра нечетная.
Всего получилось 5+2 = 7 систем счисления.