Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n, где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3.
Какие числа рациональные? Рациональные числа (в отличии от иррациональных)– это числа с положительным или отрицательным знаком (целые и дробные) и ноль. Более точное понятие рациональных чисел, звучит так:
Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n, где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3.
Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.
Поэтому число «Пи» (π = 3,14...), основание натурального логарифма, e (e = 2,718..) или √2 НЕ являются рациональными числами.
Рациональные числа, примеры:
3/4; 9/12; 1/2;
Множество рациональных чисел.
Множество рациональных чисел обозначают Числа. Рациональные числа.и его можно записать вот так:
Числа. Рациональные числа.
Кроме того, одну дробь можно записать разными способами и видами, но значение ее не потеряется. Например, 3/4 и 9/12, (любая дробь, которую можно получить из другой дроби (и наоборот) умножая их либо деля числитель и знаменатель на одинаковое натуральное число, являются одним и тем же рациональным числом). Так как делением числителя и знаменателя дроби на НОД, можем получить единственное представление рационального числа, которое нельзя сократить, то можем говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:
Числа. Рациональные числа.
где gcd(m,n) — НОД чисел m и n.
Множество рациональных чисел - это естественное обобщение множества целых чисел. Если у рационального числа a=m/n знаменатель n=1, то a=m будет целым числом.
Числа. Рациональные числа.
Всякое рациональное число легко выразить как дробь, у которой числитель является целым числом, а знаменатель - натуральным числом.
a/b, где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b∈N (b принадлежит натуральным числам).
Числа. Рациональные числа.
Использование рациональных чисел в реальной жизни.
В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов, например, тортов или других продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.
Свойства рациональных чисел.
Основные свойства рациональных чисел.
1. Упорядоченность. Для всяких рациональных чисел a и b есть правило, которое позволяет однозначно идентифицировать между ними 1-но и только одно из 3-х отношений: «<», «>» либо «=». Это правило - правило упорядочения и формулируют его вот так:
2 положительных числа a=ma/na и b=mb/nb связаны тем же отношением, что и 2 целых числа ma⋅nb и mb⋅na;
2 отрицательных числа a и b связаны одним отношением, что и 2 положительных числа |b| и |a|;
когда a положительно, а b — отрицательно, то a>b.
∀a,b∈Q (a∨a>b∨a=b)
2. Операция сложения. Для всех рациональных чисел a и b есть правило суммирования, которое ставит им в соответствие определенное рациональное число c. При этом само число c - это сумма чисел a и b и ее обозначают как (a+b), а процесс нахождения этого числа называют суммирование.
Правило суммирования выглядит так:
ma/na+mb/nb=(ma⋅nb+mb⋅na)/(na⋅nb).
∀a,b∈Q ∃!(a+b)∈Q
3. Операция умножения. Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения, оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c. Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b), а процесс нахождения этого числа называют умножение.
Правило умножения выглядит так: mana⋅mbnb=ma⋅mbna⋅nb.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.
∀a,b,c∈Q (a∧b⇒a∧(a = b∧b = c ⇒ a = c)
5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.
∀a,b∈Q a+b=b+a
6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.
∀a,b,c∈Q (a+b)+c=a+(b+c)
7. Наличие нуля. Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.
∃0∈Q ∀a∈Q a+0=a
8. Наличие противоположных чисел. У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.
∀a∈Q ∃(−a)∈Q a+(−a)=0
9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.
∀a,b∈Q a⋅b=b⋅a