Сделаем замену t = x^(1/6), тогда t стремится к 1, квадратный корень из x это t^3, кубический корень — t^2. После этого раскладываем числитель и знаменатель на множители по формулам сокращенного умножения, и после сокращения получится функция, не имеющая особенностей в точке 1.
![\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt x-1}=\lim_{t\to1}\frac{t^2-1}{t^3-1}=\lim_{t\to1}\frac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(t^2+t+1)}=\lim_{t\to1}\frac{t+1}{t^2+t+1}=\\=\frac{1+1}{1+1+1}=\frac23](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Clim_%7Bx%5Cto1%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B3%5Dx-1%7D%7B%5Csqrt+x-1%7D%3D%5Clim_%7Bt%5Cto1%7D%5Cfrac%7Bt%5E2-1%7D%7Bt%5E3-1%7D%3D%5Clim_%7Bt%5Cto1%7D%5Cfrac%7B%28t-1%29%28t%2B1%29%7D%7B%28t-1%29%28t%5E2%2Bt%2B1%29%7D%3D%5Clim_%7Bt%5Cto1%7D%5Cfrac%7Bt%2B1%7D%7Bt%5E2%2Bt%2B1%7D%3D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B1%2B1%7D%7B1%2B1%2B1%7D%3D%5Cfrac23 "\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt x-1}=\lim_{t\to1}\frac{t^2-1}{t^3-1}=\lim_{t\to1}\frac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(t^2+t+1)}=\lim_{t\to1}\frac{t+1}{t^2+t+1}=\\=\frac{1+1}{1+1+1}=\frac23")