Доказать , что при любом n ∈ N число A ∈ N , если (6ⁿ)² + 12 · 6ⁿ + 32 A= ÷ 5 · 6ⁿ + 40

Question

Доказать , что при любом n ∈ N число A ∈ N , если

(6ⁿ)² + 12 · 6ⁿ + 32
A= ÷
5 · 6ⁿ + 40

Answer 1

Преобразует , положим что 6^n+6=x , тогда A=(x^2-4)(5x+10)=(x-2)(x+2)/(5(x+2))=(x-2)/5=(6^n+4)/5
Докажем что 6^n+4 делится на 5 , так как 6^n делится на 5 с остатком 1, то есть представим в виде 6^n=5y+1, y-натуральное число , то A=(5y+1+4)/5=y+1 , значит A так же натуральное.