Дослідити функцію y=(4(x+1)^2)/(x^2+2x+4) і побудувати графік

ДАНО

Y = 4*(x²+2x+1)/(x² +2x+ 4)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - непрерывная Х∈(-∞;+∞).

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = -1.

3. Пересечение с осью У. У(0) = 1.

4. Поведение на бесконечности.

$\lim_{x \to \infty} \frac{4*(1+ \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} )}{1+ \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} }=4$

limY(+∞) = 4.

Горизонтальная асимптота - Y = 4.

5. Исследование на чётность.

Y(-x) ≠ Y(x). Y(-x) ≠ - Y(x)

Функция ни чётная ни нечётная.

6. Производная функции.

$Y'(x)= \frac{8(x+1)}{x^2+2x+4}- \frac{8*(x+1)(^2+2x+1)}{(x^2+2x+4)^2}$

Корень при Х=-1.

Схема знаков производной.

(-∞)__(<0-убыв)__(х= -1)_(<0-убыв)__(+∞)</p>

7. Локальные экстремумы.

Максимума - нет, минимум – Ymin(-1) = 0.

8. Интервалы монотонности.

Убывает - Х∈(-∞;-1]. Возрастает - Х∈[-1;+∞)

9. Вторая производная - Y"(x).

Корни производной - точки перегиба: х1 =-2, х2= 0.

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-2)∪(0;+∞),

Вогнутая – «ложка» Х∈(-2;0).

10. Область значений Е(у) У∈[0;4)

11. График в приложении