Найдите значение параметра m при котором сумма квадратов действительных корней уравнения...

Для начала найдём, при каких значениях m корни вообще есть. Для этого D≥0.
$D = b^2-4ac=(2(4m-1))^2-4(4m+1)=4(16m^2-8m+1)- \\ -16m-4=64m^2-32m+4-16m-4=64m^2-48m$
$64m^2-48m \geq 0 \\ 16m(4m-3) \geq 0 \\ m(4m-3) \geq 0 \\ m(4m-3)=0 \\ m=0; 0.75$
Решая методом интервалов, получаем: $m\in(-\infty; 0]\cup[0.75; +\infty)$ . Это наша ОДЗ.

По теореме Виета
$\left \{ {{x_{1}+x_{2}=-2(4m-1)} \atop {x_{1}x_{2}=4m+1}} \right.$
Попробуем подогнать сумму квадратов корней под теорему Виета:
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}$
Подставляем:
$(-2(4m-1))^2-2(4m+1)=64m^2-32m+4-8m-2= \\ =64m^2-40m+2$
Это парабола, ветви направлены вверх, значит, её точка минимума находится в её вершине. Если она принадлежит ОДЗ, то это и будет ответом, если нет - то либо 0, либо 0.75 (концы отрезков ОДЗ).
$x_{0}= \frac{-b}{2a} = \frac{40}{128} = \frac{10}{32}$
$0\ \textless \ \frac{10}{32} \ \textless \ \frac{3}{4} ( \frac{24}{32} )$ - не подходит. Проверяем концы отрезков:
При m = 0 сумма квадратов корней будет равна 2.
При m = 0.75 сумма квадратов корней будет равна $64 * \frac{9}{16} - 40 * \frac{3}{4} + 2 = 36 - 30 + 2 = 8$ . Подходит первый вариант.

Ответ: при m = 0.