Найти сумму 13 + 39 + 527 + ... + (2n-1) 3^n

Question 1

Найти сумму 1*3 + 3*9 + 5*27 + ... + (2n-1) * 3^n

Question 2

Запишем данную сумму в виде

   $\big(2\cdot3-3\big)+\big(4\cdot 3^2-3^2\big)+\big(6\cdot3^3-3^3\big)+...+\big(2n\cdot3^n-3^n\big)=$

$=\big(2\cdot3+4\cdot3^2+6\cdot3^3+...+2n\cdot 3^n\big)-\big(3+3^2+3^3+...+3^n\big)=\\ \\ =6\big(1+2\cdot3+3\cdot3^2+...+n\cdot3^{n-1}\big)- \displaystyle \frac{3\big(1-3^n\big)}{1-3} =6S_n+ \frac{3\big(1-3^n\big)}{2} ,$

где $S_n=1+2\cdot3+3\cdot 3^2+...+n\cdot 3^{n-1}$
Отсюда

$3S_n=3+2\cdot3^2+3\cdot3^3+...+n\cdot 3^n$
   $-3S_n+S_n=1+3+3^2+...+3^{n-1}-n\cdot 3^n$

Используя в правой части этого равенства формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим

$-2S_n= \dfrac{1-3^n}{1-3} -n\cdot 3^n$

откуда имеем   $S_n= \dfrac{1-3^n+2n\cdot 3^n}{4}.$ Тогда

$1\cdot3+3\cdot9+5\cdot27+...+(2n-1)\cdot 3^n=6S_n+\displaystyle \frac{3\big(1-3^n\big)}{2} =$

$=6\bigg(\displaystyle \frac{1-3^n+2n\cdot 3^n}{4} \bigg)+ \frac{3\big(1-3^n\big)}{2} = \frac{3}{2} \bigg( 1-3^n+2n\cdot 3^n+1-3^n\bigg)=$

$= \displaystyle \frac{3}{2} \bigg(2-2\cdot3^n+2n\cdot 3^n\bigg)=3\bigg(1-3^n+n\cdot 3^n\bigg)=$

$3\bigg(3^n\big(n-1\big)+1\bigg)=3^{n+1}\cdot\big(n-1\big)+3.$

LecToRJkeeeee_zn · Answer 1 · 2018-05-28T04:32:45+0000

Запишем данную сумму в виде

   $\big(2\cdot3-3\big)+\big(4\cdot 3^2-3^2\big)+\big(6\cdot3^3-3^3\big)+...+\big(2n\cdot3^n-3^n\big)=$

$=\big(2\cdot3+4\cdot3^2+6\cdot3^3+...+2n\cdot 3^n\big)-\big(3+3^2+3^3+...+3^n\big)=\\ \\ =6\big(1+2\cdot3+3\cdot3^2+...+n\cdot3^{n-1}\big)- \displaystyle \frac{3\big(1-3^n\big)}{1-3} =6S_n+ \frac{3\big(1-3^n\big)}{2} ,$

где $S_n=1+2\cdot3+3\cdot 3^2+...+n\cdot 3^{n-1}$
Отсюда

$3S_n=3+2\cdot3^2+3\cdot3^3+...+n\cdot 3^n$
   $-3S_n+S_n=1+3+3^2+...+3^{n-1}-n\cdot 3^n$

Используя в правой части этого равенства формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим

$-2S_n= \dfrac{1-3^n}{1-3} -n\cdot 3^n$

откуда имеем   $S_n= \dfrac{1-3^n+2n\cdot 3^n}{4}.$ Тогда

$1\cdot3+3\cdot9+5\cdot27+...+(2n-1)\cdot 3^n=6S_n+\displaystyle \frac{3\big(1-3^n\big)}{2} =$

$=6\bigg(\displaystyle \frac{1-3^n+2n\cdot 3^n}{4} \bigg)+ \frac{3\big(1-3^n\big)}{2} = \frac{3}{2} \bigg( 1-3^n+2n\cdot 3^n+1-3^n\bigg)=$

$= \displaystyle \frac{3}{2} \bigg(2-2\cdot3^n+2n\cdot 3^n\bigg)=3\bigg(1-3^n+n\cdot 3^n\bigg)=$

$3\bigg(3^n\big(n-1\big)+1\bigg)=3^{n+1}\cdot\big(n-1\big)+3.$