Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, и при этом AB:CD = 1:2, BD:AC 2:3. Найдите...

Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
AB:CD = 1:2 и BD:AC = 2:3

ΔABO и ΔCDO
∠AOB = ∠DOC - вертикальные углы
∠BAC = ∠BDC - вписанные углы опираются на одну дугу CB
⇒ ΔABO ~ ΔCDO по двум равным углам.
AB : CD = 1 : 2    ⇒
$\frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC} = \frac{AB}{CD} = \frac{1}{2}$
⇒ OD = 2AO; OC = 2BO

AC = AO + OC = AO + 2BO
BD = BO + OD = BO + 2AO

По условию BD : AC = 2 : 3 ⇒
$\frac{BO+2AO}{AO+2BO}= \frac{2}{3}$
3(BO + 2AO) = 2(AO + 2BO)
3BO + 6AO = 2AO + 4BO
4AO = BO   ⇒ AO : BO = 1 : 4

ΔAOD и ΔBOC
∠AOD = ∠BOC - вертикальные углы
∠CBD = ∠DAC - вписанные углы опираются на одну дугу CD ⇒
ΔAOD ~ ΔBOC по двум равным углам ⇒
$\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{BO} = \frac{1}{4}$

Ответ: AD : BC = 1 : 4